No matematicamente rigorosa formulação da mecânica quântica desenvolvida por Paul Dirac,[23] David Hilbert,[24] John von Neumann,[25] e Hermann Weyl,[26] os possíveis estados de um mecânico-quântico do sistema são simbolizados[27] como unidade de vetores (chamado de estado de vetores). Formalmente, estas residem em um complexo separável espaço de Hilbert—variadamente o chamado estado de espaço ou a associada espaço de Hilbert do sistema—que está bem definido até um número complexo de norma 1 (o fator de fase). Em outras palavras, os estados possíveis são pontos no espaço projetivo de um espaço de Hilbert, geralmente chamado o complexo projetiva espaço. A natureza exata deste espaço de Hilbert é dependente do sistema—por exemplo, o espaço de estado para a posição e o momentum de estados é o espaço do quadrado-integráveis funções, enquanto o espaço de estado para o spin de um único próton é apenas o produto de dois complexos de aviões. Cada observável é representado por um máximo de Hermitiana (precisamente: por uma auto-adjoint) operador linear agindo no espaço de estado. Cada eigenstate de um observável corresponde a um eigenvector Life Drink do operador, e o associado eigenvalue corresponde ao valor do observável, que eigenstate. Se o operador do espectro é discreto, observável pode atingir apenas os autovalores discretos.